Приложение 1.      Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод решения задач на условный экстремум. Суть данного метода заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции Лагранжа.

Для задачи об экстремуме функции f(x_1, x₂, …, x_n) при условиях (уравнениях связи) _i(x₁, x₂, …, x_n) = 0, i = 1, 2, …, m, функция Лагранжа имеет вид

(1-A)

Множители λ₁, λ₂, …, λ_m называются множителями Лагранжа.

Если величины x_1, x₂, …, x_n, λ₁, λ₂, …, λ_m суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

(1-B)

то при достаточно общих предположениях x_1, x₂, …, x_n доставляют экстремум функции f [1].

Приложение 2.      Адиабатическое приближение

Адиабатическое приближение   метод приближенного решения задач квантовой механики, применяемый для описания квантовых систем, в которых можно выделить «быструю» и «медленную» подсистемы. Исходная задача решается в два этапа: сначала рассматривается движение быстрой подсистемы при фиксированных координатах медленной подсистемы, а затем учитывается движение последней.

Если и    соответственно координаты быстрой и медленной подсистем, то полный гамильтониан системы можно представить в виде

,

(2-A)

где и    операторы кинетической энергии быстрой и медленной подсистем, a    оператор потенциальной энергии всей системы. В адиабатическом приближении из решения уравнения

(2-B)

сначала находят волновые функции   быстрой подсистемы при фиксированных значениях координат   и собственные значения энергии   быстрой подсистемы, которые зависят от координат  медленной подсистемы как от параметра.

Полная волновая функция системы представляется в виде разложения по базису  

,

(2-C)

где под знаком суммы следует понимать не только суммирование по дискретному спектру, но также интегрирование по сплошному спектру j оператора   При подстановке этого разложения в уравнение Шредингера

,

(2-D)

где    энергия всей системы, домножении его слева на функции   и интегрировании по переменным   возникает бесконечная система уравнений

(2-E)

для функций , описывающих движение медленной подсистемы в эффективных потенциалах , и

,

(2-F)

создаваемых движением быстрой подсистемы.

Эта система уравнений полностью эквивалентна исходному уравнению Шредингера с гамильтонианом .

Собственно адиабатическое приближение в его первоначальной формулировке, известное в литературе как метод Борна Оппенгеймера, состоит в предположении, что . В этом случае волновую функцию системы можно приближенно представить в виде произведения:

,

(2-G)

т. е. движения быстрой и медленной подсистем в данном приближении независимы. Для уточнения такого приближенного решения необходимо учесть неадиабатические матричные элементы , осуществляющие связь между движениями медленной и быстрой подсистем.

Следуя Борну и Оппенгеймеру, можно ввести параметр неадиабатичности , где m   масса электрона, а М   приведенная масса ядер молекулы. Физический смысл параметра    отношение среднеквадратичного отклонения ядер от положения равновесия к размеру молекулы, который определяется протяженностью электронного облака. Используя параметр , полную энергию   системы можно приближенно представить в виде

,

(2-H)

где    энергия электронов в молекуле, приближенно равная значению терма   при равновесном расстоянии R₀ между ядрами;    энергия колебаний ядер вблизи положения равновесия R₀;    вращательная энергия молекулы.

Указанный результат для   следует из уравнений адиабатического подхода при отбрасывании матричных элементов   при . Недиагональные матричные элементы   имеют порядок малости   и описывают связь колебаний с вращениями молекулы и другие, более тонкие эффекты. Их учет приводит к появлению в разложении для ε по степеням χ членов   и более высоких [2].

Список литературы к Приложению 

1.      Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. т. 2. М.: Наука, 1970.

2.      Физическая энциклопедия. т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1988.