Приложение 1.      Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод решения задач на условный экстремум. Суть данного метода заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции Лагранжа.

Для задачи РѕР± экстремуме функции f(x_1, x₂, вЂ¦, x_n) РїСЂРё условиях (уравнениях СЃРІСЏР·Рё) _i(x₁, x₂, вЂ¦, x_n) = 0, i = 1, 2, вЂ¦, m, функция Лагранжа имеет РІРёРґ

(1-A)

Множители λ₁, λ₂, …, λ_m называются множителями Лагранжа.

Если величины x_1, x₂, …, x_n, λ₁, λ₂, …, λ_m суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, Р° именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

(1-B)

то РїСЂРё достаточно общих предположениях x_1, x₂, …, x_n доставляют экстремум функции f [1].

Приложение 2.      Адиабатическое приближение

Адиабатическое приближение   РјРµС‚РѕРґ приближенного решения задач квантовой механики, применяемый для описания квантовых систем, РІ которых можно выделить «быструю» Рё «медленную» подсистемы. Исходная задача решается РІ РґРІР° этапа: сначала рассматривается движение быстрой подсистемы РїСЂРё фиксированных координатах медленной подсистемы, Р° затем учитывается движение последней.

Если Рё    СЃРѕРѕС‚ветственно координаты быстрой Рё медленной подсистем, то полный гамильтониан системы можно представить РІ РІРёРґРµ

,

(2-A)

РіРґРµ Рё    РѕРїРµСЂР°С‚РѕСЂС‹ кинетической энергии быстрой Рё медленной подсистем, a    РѕРїРµСЂР°С‚РѕСЂ потенциальной энергии всей системы. Р’ адиабатическом приближении РёР· решения уравнения

(2-B)

сначала находят волновые функции   быстрой подсистемы при фиксированных значениях координат   и собственные значения энергии   быстрой подсистемы, которые зависят от координат  медленной подсистемы как от параметра.

Полная волновая функция системы представляется в виде разложения по базису

,

(2-C)

где под знаком суммы следует понимать не только суммирование по дискретному спектру, но также интегрирование по сплошному спектру j оператора   При подстановке этого разложения в уравнение Шредингера

,

(2-D)

РіРґРµ    СЌРЅРµСЂРіРёСЏ всей системы, домножении его слева РЅР° функции В  Рё интегрировании РїРѕ переменным В  возникает бесконечная система уравнений

(2-E)

для функций , описывающих движение медленной подсистемы в эффективных потенциалах , и

,

(2-F)

создаваемых движением быстрой подсистемы.

Эта система уравнений полностью эквивалентна исходному уравнению Шредингера с гамильтонианом .

Собственно адиабатическое приближение в его первоначальной формулировке, известное в литературе как метод Борна Оппенгеймера, состоит в предположении, что . В этом случае волновую функцию системы можно приближенно представить в виде произведения:

,

(2-G)

С‚. Рµ. движения быстрой Рё медленной подсистем РІ данном приближении независимы. Для уточнения такого приближенного решения необходимо учесть неадиабатические матричные элементы , осуществляющие СЃРІСЏР·СЊ между движениями медленной Рё быстрой подсистем.

Следуя Борну Рё Оппенгеймеру, можно ввести параметр неадиабатичности , РіРґРµ m   РјР°СЃСЃР° электрона, Р° Рњ   РїСЂРёРІРµРґРµРЅРЅР°СЏ масса ядер молекулы. Физический смысл параметра    РѕС‚ношение среднеквадратичного отклонения ядер РѕС‚ положения равновесия Рє размеру молекулы, который определяется протяженностью электронного облака. Используя параметр , полную энергию В  системы можно приближенно представить РІ РІРёРґРµ

,

(2-H)

РіРґРµ    СЌРЅРµСЂРіРёСЏ электронов РІ молекуле, приближенно равная значению терма В  РїСЂРё равновесном расстоянии R₀ между ядрами;    СЌРЅРµСЂРіРёСЏ колебаний ядер вблизи положения равновесия R₀;    РІСЂР°С‰Р°С‚ельная энергия молекулы.

Указанный результат для В  следует РёР· уравнений адиабатического РїРѕРґС…РѕРґР° РїСЂРё отбрасывании матричных элементов В  РїСЂРё . Недиагональные матричные элементы В  имеют РїРѕСЂСЏРґРѕРє малости В  Рё описывают СЃРІСЏР·СЊ колебаний СЃ вращениями молекулы Рё РґСЂСѓРіРёРµ, более тонкие эффекты. Их учет РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє появлению РІ разложении для εВ РїРѕ степеням χ членов В  Рё более высоких [2].

РЎРїРёСЃРѕРє литературы Рє Приложению 

1.      Кудрявцев Р›. Р”. Математический анализ. С‚. 2. Рњ.: Наука, 1970.

2.      Физическая энциклопедия. С‚. 1. Рњ.: Советская энциклопедия, 1988.