Институт Физики им.Л.В.Киренского
Победитель конкурса сайтов СО РАН - 2010
Яndex

www.yandex.ru
  Главная
  Офис
  Новости
  Службы
  Семинары
  Достижения
  Научные отчеты
  Лаборатории
  Направления
  Интеграция
  Разработки
  Ученый совет
  Советы по защитам
  Аспирантура
  Конференции
  Конкурсы, Гранты
  Публикации
  Препринты
  Издательство
  Библиотека
  Совет молодых учёных
  Студентам
  Виртлаб
  История
  Фоторепортажи
  Персоналии
  О  Киренском
  Ученики и соратники
  Мемориальный музей
  Бухг-рия, план. отдел
  Download
  Карта  сервера

Как обращаться с величинами, погрешности которых известны

Прежде всего не нужно обманывать себя, изображая величины точнее, чем мы их знаем. Например, если известно, что каждый день в город приезжают и уезжают из него около 100 человек, то не следует говорить, что население города составляет 43587 человек. В этом числе мы не знаем точно ни единицы, ни даже десятки. Цифры 7 и 8 не значащие, результат нужно округлить до сотен, записав (43600 ± 100) человек или (43,6 ± 0,1) тыс. чел.

Погрешности обычно округляют до одной значащей цифры. Последняя значащая цифра в любом приводимом результате обычно должна быть того же порядка (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность. Однако в расчетах, пока мы еще не получили окончательный результат, имеет смысл оставлять на одну значащую цифру больше. Это уменьшает неточности, возникающие при округлении чисел.

Сравнивая между собой величины с погрешностями, нужно помнить об этих погрешностях. Например, мы знаем, что 2.5>2.4. Но если известно, что размер одной клетки водоросли (2,5 ± 0 ,1) мкм, а другой клетки (2.4 ± 0.1) мкм, то мы не можем сказать, что первая клетка крупнее второй: разность размеров такая же, как погрешность. Чтобы различить эти клетки по размерам, нужно уменьшить погрешности хотя бы в два раза. Понятно, что погрешности нужно учитывать при вычислениях с величинами, полученными в опытах. Погрешность каждой величины сказывается на погрешности результата вычислений.

Рассмотрим сложение двух величин х±capital Delta, Greek х и y±capital Delta, Greek y. Самое большое значение их суммы равно х+ capital Delta, Greek х+y+capital Delta, Greek y, а самое маленькое: х– capital Delta, Greek х+y–capital Delta, Greek y. Иначе говоря, при сложении двух величин их погрешности тоже складываются:

capital Delta, Greek (х+y)= capital Delta, Greek х+capital Delta, Greek y. (2)

При вычитании ( x±capital Delta, Greek x)—(у±capital Delta, Greek у) самое большое значение разности получается, когда из х+ capital Delta, Greek х вычитают у— capital Delta, Greek у, а самое маленькое значение разности будет при х— capital Delta, Greek х и у+ capital Delta, Greek у. Сравнивая эти величины, видим, что при вычитании погрешности складываются:

capital Delta, Greek (х—у)= capital Delta, Greek х+capital Delta, Greek у. (3)

С первого взгляда могло показаться, что при вычитании будет происходить вычитание погрешностей, но такое предположение приводит к нелепым выводам: если Ах==Ду, то при вычитании погрешностей результат получился бы с нулевой погрешностью, то есть абсолютно точным, а этого не может быть. Итак, при сложении и вычитании величин их погрешности складываются.

А как быть при умножении и делении? Погрешность Дх измерена в тех же единицах, что и сама величина х. Например, если у — путь, то capital Delta, Greek у измеряется в метрах; если х — время, то capital Delta, Greek х измеряется в секундах. Складывать такие погрешности, как складывали раньше (2), (3), нельзя, поскольку неизвестно, в каких единицах получится результат. Делить capital Delta, Greek х на capital Delta, Greek у тоже нежелательно. Оказывается, нужно складывать относительные погрешности.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ . (4)

Понятно, что относительная погрешность измеряется в процентах, она всегда больше нуля. Чтобы знать, о какой погрешности идет речь, величину capital Delta, Greek х называют абсолютной погрешностью.

Рассмотрим произведение двух величин (х± capital Delta, Greek х)·(у±capital Delta, Greek у) и воспользуемся понятием относительной погрешности. Если х>0 и у>0, то наибольшее значение их произведения

.

Последнее слагаемое в скобках мало, если каждая из относительных погрешностей невелика Например если capital Delta, Greek х/х-5% и capital Delta, Greek у/у=2%, то ( capital Delta, Greek х/х)·(capital Delta, Greek у/у) -0,1%! Почти всегда таким членом можно пренебречь, следовательно, наибольшее произведение равно

.

Точно так же наименьшее значение произведения получается равным

.

Короче говоря,

(5)

или

. (6)

При умножении двух величин складываются их относительные погрешности. Это справедливо не только для положительных х и у, поэтому в (5) и (6) стоит абсолютная величина произведения (справедливость выражений (5) и (6) для сомножителей разных знаков можно легко проверить, это — полезное самостоятельное упражнение).

Очень похожие рассуждения приводят к выводу о том, что при делении двух величин их относительные погрешности тоже складываются:

(7)

. (8)

Рассмотрим пример вычислений. Тело проходит путь (10 ±1) м за время (10 ±1) с. Вопрос в том, как вычислить погрешность этой величины. Если бы мы попытались делить 1 м на 0.01 с, то получили бы 100 м/с, и в ответе ( 10±100) м/с, что совсем непохоже на правду, поскольку каждая из исходных величин измерена небольшой погрешностью. Найдем относительные погрешности: 1 м/10 м – 0,1=10%; 0.01 с/1 с=0.01=1%. Учитывая формулу (8), сложим относительные погрешности: 10%+1%=11%. Такова относительная погрешность скорости. Абсолютная погрешность скорости: 10 м/с ·11 % = 1,1 м/с. В результате скорость равна (10 ±1.1) м/с. Учитывая правило округления, пишем (10 ±1) м/с.

Знание того, как складываются погрешности, помогает правильно организовывать опыты, чтобы получить более точный результат. Так, в рассмотренном примере погрешность определения скорости 11% складывается из погрешности определения пути 10% и погрешности времени 1%. Если мы вдвое улучшим точность измерения времени, то получим общую погрешность 10.5%; но если в два раза уменьшить погрешность измерения пути, то погрешность скорости уменьшится до 5%+1% = 6%.В данном случае наибольший вклад в общую погрешность дают измерения пути, и именно их нужно улучшать для уменьшения погрешности результата. Уменьшение погрешности измерения времени практически не повлияет на погрешность результата.

Выводы. Все результаты измерений нужно приводить с их погрешностями. Знание погрешностей необходимо для сравнения результатов разных опытов. При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности. При умножении и делении складываются относительные погрешности. Правило сложения погрешностей помогает организовывать опыты.

 




© И н с т и т у т   Ф и з и к и
им. Л.В.Киренского 1998—2011    Для вопросов и предложений

TopList

[an error occurred while processing this directive]